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Thèse présentée à

Université de Rouen

Par

Martin ROSALIE

Soutenue le 26 novembre 2014

Lois de composition de surfaces branchées pour la description d’attracteurs chaotiques bornés par des tores de genre élevé.
Jury

Rapporteurs
Pierre COLLET, Directeur de Recherches Émérite, CNRS
René LOZI, Professeur des Universités, Université de Nice

Examinateurs
Robert GILMORE, Professeur des Universités, Drexel University
Marc LEFRANC, Professeur des Universités, Université de Lille 1
Jean-Marc MALASOMA, Maître de conférences, ENTPE Lyon
Sylvain MANGIAROTTI, Chargé de Recherche, IRD/CESBIO Toulouse

Directeur de thèse
Christophe LETELLIER, Professeur des Universités, CORIA UMR 6614

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressé à la topologie d’attracteurs chaotiques solutions de systèmes dissipatifs d’équations différentielles. Dans la première partie, nous avons étudié les propriétés des gabarits d’attracteurs bornés par un tore de genre 1, symétrique ou non. Ceci nous a permis de proposer une méthode dans le cas où le genre du tore bornant est plus élevé et ses trous sont alignés. Nous avons construit les gabarits réduits de plusieurs attracteurs avec un mixeur défini à l’aide d’une matrice d’enlacement. Dans certains cas, nous avons aussi établi les gabarits directs en les décrivant par une suite ordonnée de mixeurs et torsions. Cette seconde façon de décrire le gabarit permet de mettre en avant la structure symétrique des attracteurs. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l’étude des propriétés algébriques des matrices d’enlacement décrivant les mixeurs. Inspiré des travaux de Gilmore, nous avons défini la concaténation d’une torsion avant et après un mixeur, puis la concaténation de deux mixeurs. En appliquant la concaténation sur les éléments constitutifs d’un gabarit direct, nous nous sommes rendu compte que plusieurs gabarits réduits pouvaient décrire un même attracteur. Définis par des matrices d’enlacement différentes, nous en avons conclu qu’une même dynamique entre les orbites peut être décrite de plusieurs façons. Nous avons alors défini la notion de mécanisme élémentaire pour les mixeurs fermés. En concaténant les mixeurs élémentaires, nous avons conjecturé qu’il était possible d’obtenir tous les mécanismes élémentaires par récurrence et concaténation. Cette liste de mixeurs élémentaires en fonction du nombre de bandes est une base de connaissances nécessaire à la description et à la comparaison de gabarits d’attracteurs bornés par un tore de genre 1 sans déchirement du flot.
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