Théorie du plongement et observabilité

Le 09/11/2011

Christophe Letellier  •  ico

L’un des principaux résultats de la théorie des systèmes dynamiques non linéaires consiste en la possibilité de reconstruire le portrait de phase directement à partir de l’enregistrement de l’évolution d’une seule des variables dynamiques. Suite à une suggestion de David Ruelle, Norman Packard et ses collègues ont montré qu’il était possible d’obtenir une reconstruction du portrait de phase grâce aux coordonnées décalées et aux coordonnées dérivées. Floris Takens en a fait par la suite un théorème démontrant qu’il était possible d’obtenir un difféomorphisme entre le portrait de phase original (inaccessible à la mesure) et le portrait de phase reconstruit, pourvu que la dimension de reconstruction soit suffisante. Les conditions d’applicabilité du théorème de Takens repose sur le caractère générique de la fonction de mesure, une condition loin d’être réalisée dans de nombreux cas.

JPEG - 27.5 ko
Reconstruction du portrait de phase original (ici du système de Rössler) par les coordonnées décalées ou dérivées.

En effet, il arrive souvent que la fonction de mesure présente des spécificités qui interdisent l’équivalence difféomorphique. Ainsi, dans le cas des systèmes dynamiques équivariants (possédant des propriétés de symétrie), la symétrie originale est rarement reproduite. Par exemple, la symétrie de rotation du système de Lorenz devient une symétrie centrale lorsque la variable x ou y est mesurée et disparaît complètement lorsque le portrait de phase est reconstruit à partir de la variable z. La reconstruction du portrait de phase ne préserve donc pas la propriété de symétrie : l’équivalence difféomorphique est locale et non globale.

JPEG - 22.4 ko
Reconstruction du portrait de phase original par les coordonnées dérivées à partir d’enregistrements des évolutions temporelles de variables dynamiques différentes (x et z) du système de Lorenz.

Ce premier cas d’inéquivalence des portraits de phase reconstruits à partir d’observables différentes conduit à l’idée que les différentes variables d’un système dynamique ne conduisent pas toute à la même observabilité de la dynamique sous-jacente. En d’autres termes, la qualité des informations sur la dynamique d’un système, c’est-à-dire sur les couplages qui peuvent exister entre les différentes variables nécessaires à la description de ce système, peut varier selon la quantité physique mesurée. Le plus souvent, nous nous contentons de la mesure d’une grandeur physique et nous effectuons notre analyse en toute confiance. Toutefois, rien ne nous garantit que la grandeur que nous avons choisi de mesurer correspond à la variable nous fournissant une représentation correcte de la dynamique (respect des propriétés de symétrie ou des propriétés plus fines de la dynamique). Aussi, avec Luis A. Aguirre (Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, Brésil), nous avons introduits des indices d’observabilité qui quantifient l’observabilité de la dynamique à partir d’une grandeur physique donnée [1]. Bien que ces indices ne soit calculés qu’à partir des équations différentielles régissant l’évolution du système, nous avons déjà montré une forte dépendance de la qualité de l’analyse au choix de l’observable dans de nombreux cas. Par exemple, nous avons montré qu’une meilleure analyse d’un écosystème était effectuée lorsque l’espèce en début de chaîne alimentaire était comptée [2]. Par ailleurs, nous avons montré que la matrice d’observabilité, bien connue des automaticiens, se ramenaient à la matrice jacobienne du changement de variable entre l’espace des phases original et l’espace reconstruit sur les coordonnées décalées [3]

Par ailleurs, lorsqu’une technique de modélisation globale est appliquée, nous avons observé une corrélation systématique entre les indices d’observabilité et la qualité des modèles obtenus. Nous avons montré que cette perte d’observabilité provenait de l’existence de singularité dans les couplages entre les différentes variables dynamiques, singularités qui s’opposent toujours à l’obtention d’un modèle correct [4]. Il est à noter qu’une perte d’observabilité se traduit toujours par une perte de synchronisabilité : identifier la meilleure observable revient donc à identifier les variables dynamiques les plus appropriées à une synchronisatio efficace [5]. Un résultat similaire a été obtenu sur la contrôlabilité [6].

[1] C. Letellier, J. Maquet, L. Le Sceller, G. Gouesbet & L. A. Aguirre, On the non-equivalence of observables in phase space reconstructions from recorded time series, Journal of Physics A, 31, 7913-7927, 1998.

[2] C. Letellier, L. A. Aguirre, J. Maquet & Aziz-Alaoui, Should all the species of a food chain be counted to investigate the global dynamics ?, Chaos, Solitons & Fractals, 13, 1099-1113, 2002.

[3] C. Letellier, L. A. Aguirre & J. Maquet, Relation between observability and differential embeddings for nonlinear dynamics, Physical Review E, 71, 066213, 2005.

[4] C. Letellier & L. Aguirre, Investigating nonlinear dynamics from time series : the influence of symmetries and the choice of observables, Chaos, 12, 549-558, 2002.

[5] C. Letellier & L. A. Aguirre, Interplay between synchronization, observability, and dynamics, Physical Review E, 82, 016204, 2010.

[6] C. Letellier, L. A. Aguirre & J. Maquet, How the choice of the observable may influence the analysis of non linear dynamical systems, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 11 (5), 555-576, 2006.

Mots-Clefs
Catalogue des Documents
CORIA-Lettre
Ecrire au Laboratoire
Flux RSS
Contact & Accès
ACCUEIL
Départements de Recherche du Laboratoire
Activités du département ER
Activités du Département TASC
Activités du Département OL
Informations pratiques concernant les Masters DIODE et EFE
Où sommes nous ! Plans d’accès. Contact Principaux de l’UMR 6614-CORIA ...
Thèses du Laboratoire. (2002 - ... )
Prochainement en ligne !
This page contains some descriptions of techniques or tools developed for the characterisation of soot particles.
Centre de Combustion Avancée pour l’Aéronautique du Futur
Agenda
Les Membres
Annuaire
dot : Nouveau

MàJ ··· 12 novembre 2014

:::  ico   :::