Modélisation globale

Le 09/11/2011

Christophe Letellier  •  ico

Jean Maquet  •  ico

Une fois le portrait de phase reconstruit, il est possible d’estimer un système d’équations différentielles ordinaires qui reproduise la dynamique du système étudié  [1]. Tout repose sur les coordonnées dérivées. Soit l’évolution temporelle d’une grandeur physique, le portrait de phase est défini sur les coordonnées dans le cas d’un système tridimensionnel, c’est-à-dire par les trois premières dérivées de la grandeur physique mesurée. Il est alors naturel d’écrire le système sous forme canonique comme suit : F est la fonction canonique à estimer. Connaitre la forme de la fonction revient à connaitre le système dynamique. Elle se projette sur une base de polynômes multivariables de la forme : Il suffit ensuite d’intégrer numériquement le système d’équations ainsi obtenu pour récupérer la dynamique du système étudié. La qualité du modèle est fortement dépendante de l’observabilité fournie par la variable mesurée. Nous avons obtenu des modèles globaux de différentes dynamiques expérimentales. La plupart du temps, les modèles sont validés par analyse topologique. Encore aujourd’hui, nous sommes les seuls à coupler systématiquement la modélisation globale avec validation des modèles par analyse topologique, comme cela a été fait sur des données expérimentales produites par une électrolyse de cuivre [2].

Plus récemment, nous avons obtenu un modèle global à partir du nombre de taches solaires (indice de Wolf) pour lequel une symétrie a été ajoutée [3]. Le modèle obtenu - en collaboration avec Luis Aguirre (Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, Brésil) a permis de prédire le maximum du prochain cycle solaire [4]. Un modèle à partir des données de la compagnie de la baie d’Hudson a également été obtenu [5].

[1] G. Gouesbet & C. Letellier, Global vector field reconstruction by using a multivariate polynomial L2-approximation on nets, Physical Review E, 49(6), 4955-4972, 1994.

[2] C. Letellier, L. Le Sceller, P. Dutertre, G. Gouesbet, Z. Fei & J. L. Hudson, Topological Characterization and Global Vector Field Reconstruction from experimental electrochemical system, Journal of Physical Chemistry, 99, 7016-7027, 1995.

[3] C. Letellier, J. Maquet, L. A. Aguirre & R. Gilmore, Evidence for low dimensional chaos in the sunspot cycles, Astronomy & Astrophysics, 449, 379-387, 2006.

[4] L. A. Aguirre, C. Letellier & J. Maquet, Forecasting the Time Series of Sunspot Numbers, Solar Physics, 249 (1), 103-120, 2008.

[5] J. Maquet, C. Letellier & L. A. Aguirre, Global models from the Canadian Lynx cycles as a first evidence for chaos in real ecosystems, Journal of Mathematical Biology, 55 (1), 21-39, 2007.

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